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选择题
函数 $y = \frac{1}{\sqrt{9-x^2}}$ 的定义域是（ ）
A. $[-3, 3]$
B. $(-3, 3)$
C. $(-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$
D. $(-\infty, 9)$
答案: B
要使函数有意义，需 $9-x^2 > 0$。
即 $x^2 < 9$，所以 $-3 < x < 3$。
定义域为 $(-3, 3)$。
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选择题
当 $x \to 0$ 时，$\sqrt{1-ax^2}-1$ 与 $x\sin x$ 是等价无穷小，则 $a = $（ ）
A. $1$
B. $-1$
C. $2$
D. $-2$
答案: D
利用等价无穷小：$\sqrt{1-ax^2}-1 \sim \frac{1}{2}(-ax^2) = -\frac{a}{2}x^2$。
$x\sin x \sim x \cdot x = x^2$。
等价无穷小要求 $-\frac{a}{2} = 1$，所以 $a = -2$。
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选择题
设 $f(x)$ 的定义域为 $(-1, 2)$，则 $f(x-1)$ 的定义域为（ ）
A. $(-1, 2)$
B. $(0, 3)$
C. $(-2, 1)$
D. $(1, 2)$
答案: B
对于 $f(x-1)$，需要 $-1 < x-1 < 2$。
各边加1：$0 < x < 3$。
定义域为 $(0, 3)$。
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选择题
函数 $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2-3x+2}$ 的第一类间断点是（ ）
A. $x=1$
B. $x=2$
C. $x=1$ 及 $x=2$
D. 无间断点
答案: A
$f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{x+1}{x-2}$（$x \neq 1$）。
$x=1$：极限存在（为 $-2$），是可去间断点，属第一类。
$x=2$：极限为无穷，是第二类间断点。
所以第一类间断点是 $x=1$。
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选择题
若 $\lim_{n \to \infty} (1+\frac{5}{n})^n = e^k$，则 $k = $（ ）
A. $0$
B. $1$
C. $5$
D. $1/5$
答案: C
利用重要极限 $\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n = e$。
$\lim_{n\to\infty}(1+\frac{5}{n})^n = \lim_{n\to\infty}[(1+\frac{5}{n})^{n/5}]^5 = e^5$。
所以 $k = 5$。
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选择题
函数 $y = \sqrt[3]{x} + 2$ 的反函数为（ ）
A. $y=(x+2)^3$
B. $y=(x-2)^3$
C. $y=x^3-2$
D. $y=x^3+2$
答案: B
由 $y = \sqrt[3]{x} + 2$，得 $y - 2 = \sqrt[3]{x}$。
两边立方：$x = (y-2)^3$。
交换 $x,y$：$y = (x-2)^3$。
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选择题
$\int \frac{e^x}{1+e^{2x}} dx = $（ ）
A. $\ln(1+e^{2x}) + C$
B. $\arctan(e^x) + C$
C. $e^x + \arctan x + C$
D. $\frac{1}{2}\arctan(e^x) + C$
答案: B
令 $u = e^x$，则 $du = e^x dx$。
原式 $= \int \frac{du}{1+u^2} = \arctan u + C = \arctan(e^x) + C$。
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选择题
微分方程 $y'' + y = 0$ 的通解为（ ）
A. $y=C_1e^x + C_2e^{-x}$
B. $y=C_1\cos x + C_2\sin x$
C. $y=e^x(C_1\cos x + C_2\sin x)$
D. $y=C_1+C_2x$
答案: B
特征方程：$r^2 + 1 = 0$，得 $r = \pm i$。
通解为 $y = C_1\cos x + C_2\sin x$。
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选择题
点 $(1, 1, 1)$ 到平面 $x+2y+2z-1=0$ 的距离为（ ）
A. $1$
B. $4/3$
C. $2/3$
D. $2$
答案: B
距离公式：$d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$。
$d = \frac{|1+2+2-1|}{\sqrt{1+4+4}} = \frac{4}{3}$。
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选择题
向量 $\vec{a}=(1,1,0)$ 与 $\vec{b}=(0,1,1)$ 的夹角为（ ）
A. $\pi/4$
B. $\pi/3$
C. $\pi/6$
D. $\pi/2$
答案: B
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0+1+0 = 1$。
$|\vec{a}| = \sqrt{2}$，$|\vec{b}| = \sqrt{2}$。
$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$。
$\theta = \pi/3$。
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填空题
$\lim_{x \to 0} \frac{2\tan 3x}{3\sin 2x} = $
答案: $1$
利用等价无穷小：$\tan 3x \sim 3x$，$\sin 2x \sim 2x$。
原式 $= \lim_{x\to 0} \frac{2 \cdot 3x}{3 \cdot 2x} = \frac{6x}{6x} = 1$。
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填空题
设 $f(\cos x) = 1-2\sin^2 x$，则 $f(x) = $
答案: $2x^2-1$
$f(\cos x) = 1 - 2(1-\cos^2 x) = 1 - 2 + 2\cos^2 x = 2\cos^2 x - 1$。
所以 $f(x) = 2x^2 - 1$。
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填空题
函数 $y = \ln(\ln x)$ 的导数 $y' = $
答案: $\frac{1}{x\ln x}$
$y' = \frac{1}{\ln x} \cdot (\ln x)' = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln x}$。
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填空题
设 $y = \arctan(e^{2x})$，则 $y'|_{x=0} = $
答案: $1$
$y' = \frac{1}{1+e^{4x}} \cdot 2e^{2x} = \frac{2e^{2x}}{1+e^{4x}}$。
$y'|_{x=0} = \frac{2}{1+1} = 1$。
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填空题
$\int (5^x e^x - 1) dx = $
答案: $\frac{(5e)^x}{\ln(5e)}-x+C$
$5^x e^x = (5e)^x$。
$\int (5e)^x dx = \frac{(5e)^x}{\ln(5e)}$。
$\int (-1)dx = -x$。
结果为 $\frac{(5e)^x}{\ln(5e)} - x + C$。
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填空题
定积分 $\int_0^{\pi/4} \tan^2 \theta d\theta = $
答案: $1-\frac{\pi}{4}$
$\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$。
$\int_0^{\pi/4} (\sec^2 \theta - 1)d\theta = [\tan \theta - \theta]_0^{\pi/4}$。
$= (1 - \frac{\pi}{4}) - (0 - 0) = 1 - \frac{\pi}{4}$。
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填空题
微分方程 $y' - \frac{y}{x} = x$ 的通解为 $y = $
答案: $x^2+Cx$
一阶线性方程，$P(x) = -\frac{1}{x}$，$Q(x) = x$。
积分因子 $\mu = e^{\int -\frac{1}{x}dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$。
$y = x(\int \frac{1}{x} \cdot x dx + C) = x(x + C) = x^2 + Cx$。
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填空题
变上限积分导数 $\frac{d}{dx} \int_a^{x^2} \sin(t^2) dt = $
答案: $2x\sin(x^4)$
由变上限积分求导公式和链式法则：
$\frac{d}{dx} \int_a^{x^2} \sin(t^2)dt = \sin((x^2)^2) \cdot 2x = 2x\sin(x^4)$。
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填空题
向量 $\vec{a}=(1,2,-1)$，$\vec{b}=(2,-1,3)$ 的数量积 $\vec{a}\cdot\vec{b} = $
答案: $-3$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1\times 2 + 2\times(-1) + (-1)\times 3 = 2 - 2 - 3 = -3$。
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填空题
设 $z = x^y$，则 $\frac{\partial z}{\partial x} = $
答案: $yx^{y-1}$
视 $y$ 为常数，对 $x$ 求导：
$\frac{\partial z}{\partial x} = yx^{y-1}$。
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填空题
极限 $\lim_{x \to 0} (1+2x)^{1/x} = $
答案: $e^2$
$\lim_{x\to 0}(1+2x)^{1/x} = \lim_{x\to 0}[(1+2x)^{\frac{1}{2x}}]^2 = e^2$。
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填空题
曲线 $y=x^3$ 在点 $(1,1)$ 处的切线斜率 $k = $
答案: $3$
$y' = 3x^2$。
$k = y'|_{x=1} = 3$。
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填空题
$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx = $
答案: $1$
$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2}dx = [-\frac{1}{x}]_1^{+\infty} = 0 - (-1) = 1$。
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填空题
微分方程 $y' = \frac{1-x}{x}y$ 的通解为 $y = $
答案: $Cxe^{-x}$
分离变量：$\frac{dy}{y} = (\frac{1}{x}-1)dx$。
积分：$\ln|y| = \ln|x| - x + C_1$。
$y = Cxe^{-x}$。
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填空题
级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p+1}$ 收敛，则 $p$ 的取值范围是
答案: $p>1$
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n^p+1} \sim \frac{1}{n^p}$。
由比较判别法，级数与 $p$-级数同敛散。
所以 $p > 1$ 时收敛。