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发表于 2014-5-17 20:20:34
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第三章 力矩与平面力偶系第一节力对点之矩力对点的矩是很早以前人们在使用杠杆, 滑车, 绞盘等机械搬运或提升重物时所形成的 一个概念.现以板手拧螺母为例来说明.如图 3-1 所示,在板手的 A 点施加一力 F,将使 板手和螺母一起绕螺钉中心 O 转动,这就是说,力有使物体(扳手)产生转动的效应.实 践经验表明,扳手的转动效果不仅与力 F 的大小有关,而且还与点 O 到力作用线的垂直距离 d 有关.当 d 保持不变时,力 F 越大,转动越快.当力 F 不变时,d 值越大,转动也越 快.若改变力的作用方向,则扳手的转动方向就会发生改变,因此,我们用 F 与 d 的乘积 再冠以适当的正负号来表示力 F 使物体绕 O 点转动的效应,并称为力 F 对 O 点之矩,简称 力矩,以符号 MO(F)表示,即 MO ( F ) = ± F d (3-1) O 点称为转动中心,简称矩心.矩心 O 到力作用线的垂直距离 d 称为力臂.式中的正负号表示力矩的转向.通常规定:力使物体绕矩心作逆时针方向转动时,力矩为正,反之为 负.在平面力系中,力矩或为正值,或为负值,因此,力矩可视为代数量. 图 3-1 由图 3-2 可以看出,力对点之矩还可以用以矩心为顶点,以力矢量为底边所构成的三 角形的面积的二倍来表示.即: MO( F ) = ±2OAB面积显然,力矩在下列两种情况下等于零: (1)力等于零; (2)力的作用线通过矩心,即力臂等于零. 力矩的单位是牛顿米(Nm)或千牛顿米(kNm) 例 3-1 分别计算图 3-3 所示的 F1,F2 对 O 点的力矩. ,有 解:由式(3-1) (3-2) M O ( F 1) = F 1 d 1 = 10 × 1 × sin 30° = 5kN m M O ( F 2) = F 2 d 2 = 30 × 1.5 = 45kN m 第二节 合力矩定理我们知道平面汇交力系对物体的作用效应可以用它的合力 R 来代替.这里的作用效应 包括物体绕某点转动的效应,而力使物体绕某点的转动效应由力对该点之矩来度量,因此, 平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于该力系的各分力对该点之矩的代数和. 合力矩 定理是力学中应用十分广泛的一个重要定理,现用两个汇交力系的情形给以证明. 证明: 如图 3-4 所示, 设在物体上的 A 点作用有两个汇交 证明: 的力 F1 和 F2,该力系的合力为 R.在力系的作用面内任选一点 O 为矩心,过 O 点并垂直于 OA 作为 y 轴.从各力矢的末端向 y 轴作垂线,令 Y1,Y2 和 Ry 分别表示力 F1,F2 和 R 在 y 轴上 的投影.由图 3-4 可见 Y1 = ob1 各力对 O 点之矩分别为 Y2 = ob 2 Ry = ob MO(F 2) = 2AOB2 = Ob 2 OA = Y 2 OA MO(R ) = 2AOB = Ob OA = Ry OA 根据合力矩定理有 MO(F 1) = 2AOB1 = Ob1 OA = Y 1 OA (a) Ry = Y 1 + Y 2 上式两边同乘以 OA 得 Ry OA = Y 1 OA + Y 2 OA 将(a)式代入得: MO (R ) = MO ( F 1) + MO ( F 2) 以上证明可以推广到多个汇交力的情况.用式子可表示为 MO (R ) = MO(F 1) + MO(F 2) + + MO(Fn ) = ∑ MO(F ) (3-3) 虽然这个定理是从平面汇交力系推证出来, 但可以证明这个定理同样适用于有合力的其 它平面力系. 例 3-2 图 3-5 所示每 1m 长挡土墙所受土压力的合力为 R,它的大小 R=200kN,方 向如图所示,求土压力 R 使墙倾覆的力矩. 解:土压力 R 可使挡土墙绕 A 点倾覆,求 R 使墙倾覆 的力矩,就是求它对 A 点的力矩.由于 R 的力臂求解较麻 烦,但如果将 R 分解为两个分力 F1 和 F2,则两分力的力臂 是已知的.为此,根据合力矩定理,合力 R 对 A 点之矩等 于 F1,F2 对 A 点之矩的代数和.则: h MA(R ) = MA (F 1) + MA (F 2) = F 1 F 2 b 3 = 200 cos 30° × 2 200 sin 30° × 2 = 146.41kN m 例 3-3 求图 3-6 所示各分布荷载对 A 点的矩. 解:沿直线平行分布的线荷载可以合成为一个合力.合力的方向与分布荷载的方向相 同,合力作用线通过荷载图的重心,其合力的大小等于荷载图的面积. 根据合力矩定理可知,分布荷载对某点之矩就等于其合力对该点之矩 (1)计算图 3-6(a)三角形分布荷载对 A 点的力矩 1 MA ( q ) = × 2 × 3 × 1 = 3kN m 2 (2)计算图 3-6(b)均布荷载对 A 点的力矩为 MA (q) = 4 × 3 × 1.5 = 18kN m (3)计算图 3-6(c)梯形分布荷载对 A 点之矩.此时为避免求梯形形心,可将梯形 分布荷载分解为均布荷载和三角形分布荷载,其合力分别为 R1 和 R2,则有 1 MA ( q) = 2 × 3 × 1.5 × 2 × 3 × 2 = 15kN m 2 第三节 力偶及其基本性质一,力偶和力偶矩在生产实践和日常生活中,经常遇到大小相等,方向相反,作用线不重合的两个平行力 所组成的力系.这种力系只能使物体产生转动效应而不能使物体产生移动效应.例如,司机 用双手操纵方向盘(图 3-7(a),木工用丁字头螺丝钻钻孔(图 3-7(b),以及用拇指 ) ) 和食指开关自来水龙头或拧钢笔套等.这种大小相等,方向相反,作用线不重合的两个平行力称为力偶.用符号(F,F′)表示.力偶的两个力作用线间的垂直距离 d 称为力偶臂, 力偶的两个力所构成的平面称为力偶作用面. 实践表明,当力偶的力 F 越大,或力偶臂越大,则力偶使物体的转动效应就越强;反 之就越弱.因此,与力矩类似,我们用 F 与 d 的乘积来度量力偶对物体的转动效应,并把 这一乘积冠以适当的正负号称为力偶矩,用 m 表示,即: (3-4) m = ± Fd 式中正负号表示力偶矩的转向. 通常规定: 若力偶使物体作逆时针方向转动时, 力偶矩为正; 反之为负.在平面力系中,力偶矩是代数量.力偶矩的单位与力矩相同. 二,力偶的基本性质 力偶不同于力, 它具有一些特殊的性质, 现分述如下: 1.力偶没有合力,不能用一个力来代替 .力偶没有合力, 由于力偶中的两个力大小相等,方向相反,作用线平 行,如果求它们在任一轴 x 上的投影,如图 3-8 所示. 设力与轴 x 的夹角为 α ,由图可得 ∑ X = F cos α F ′ cos α = 0 这说明,力偶在任一轴上的投影等于零. 既然力偶在轴上的投影为零, ,所以力偶对物体只能产生转动效应,而一个力在一般情 况下,对物体可产生移动和转动两种效应. 力偶和力对物体的作用效应不同,说明:力偶不能用一个力来代替,即力偶不能简化为 一个力,因而力偶也不能和一个力平衡,力偶只能与力偶平衡. 力偶对其作用面内任一点之矩都等于力偶矩, 2.力偶对其作用面内任一点之矩都等于力偶矩,与矩心位置无关 力偶的作用是使物体产生转动效应, 所以力偶对物体的转动效应可以用力偶的两个力对其作用面某一点的力矩的 代数和来度量.图 3-9 所示力偶(F,F′) ,力偶臂为 d, 逆时针转向,其力偶矩为 m=Fd,在该力偶作用面内任选一 点 O 为矩心,设矩心与 F′的垂直距离为 x.显然力偶对 O 点的力矩为 MO ( F , F ′) = F ( d + x) F ′ x = Fd = m 此值就等于力偶矩.这说明:力偶对其作用面内任一点的矩 恒等于力偶矩,而与矩心的位置无关. 同一平面内的两个力偶,如果它们的力偶矩大小相等,转向相同, 3.同一平面内的两个力偶,如果它们的力偶矩大小相等,转向相同,则这两个力偶等 称为力偶的等效性. (其证明从略) 效,称为力偶的等效性. 从以上性质还可得出两个推论: (1)用面内任意移转,而不会改变它对物体的转动效应 )用面内任意移转, 例如图 3-10(a)作用在方向盘上的两个力偶(P1,P1′)与(P2,P2′)只要它们的 力偶矩大小相等,转向相同,作用位置虽不同,但转动效应是相同的. 和转向不变的条件下, (2)在保持力偶矩大小 和转向不变的条件下,可以任意改变力偶的力的大小和力偶 ) 臂的长短,而不改变它对物体的转动效应. 臂的长短,而不改变它对物体的转动效应 例如图 3-10(b)所示,在攻螺纹时,作用在纹杆上的(F1,F1′)或(F2,F2′)虽 然 d1 和 d2 不相等,但只要调整力的大小,使力偶矩 F 1d 1 = F 2 d 2 ,则两力偶的作用效果是相 同的. 由以上分析可知,力偶对于物体的转动效应完全取决于力偶矩的大小,力偶的转向及 力偶作用面,即力偶的三要素.因此,在力学计算中,有时也用一带箭头的弧线表示力偶, 如图 3-11 所示,其中箭头表示力偶的转向,m 表示力偶矩的大小. 第四节 平面力偶系的合成与平衡一,平面力偶系的合成 作用在同一平面内的一群力偶称为平面力偶系. 平面力偶系合成可以根据力偶等效性来 进行.合成的结果是:平面力偶系可以合成为一个合力偶,其力偶矩等于各分力偶矩的代数 和.即 M = m1 + m 2 + + mn = ∑ mi (4-1) 例3-4如图3-12所示,在物体同一平面内受到三个力偶的作用,设 F 1 = 200 N, F 2 = 400 N, m = 150 N m ,求其合成的结果. 解:三个共面力偶合成的结果是一个合力偶,各分力偶矩为: m1 = F 1d 1 = 200 × 1 = 200 N m m 2 = F 2 d 2 = 400 × 0.25 = 200 N m sin 30° m3 = m = 150 N m 由式(3-5)得合力偶为: M = ∑ mi = m1 + m 2 + m3 = 200 + 200 150 = 250 N m 即合力偶矩的大小等于 250 N m ,转向为逆时针方向,作用在原力偶系的平面内.
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